Решение задач

Задача 1

2^-2x+9 = 4.

1. Представим 4 как степень двойки: 2^-2x+9 = 2²
2. Основания степеней одинаковы, значит, приравниваем показатели: -2x + 9 = 2
3. Решаем уравнение: -2x = -7; x = 3.5

Ответ: x = 3.5

Задача 2

(1/13)^x+9 = 13^14x

1. Представим 1/13 как 13^-1: 13^-x-9 = 13^14x
2. Приравниваем показатели: -x - 9 = 14x
3. Решаем уравнение: -15x = 9; x = -0.6

Ответ: x = -0.6

Задача 3

3^x-2 = 0.3 * 10^-2.

1. Представим 0.3 * 10^-2 как 3 * 10^-3, далее как 3¹ * (3 * 3.33...)^-3 = 3^-2
2. Получаем 3^x-2 = 3^-2
3. Приравниваем показатели: x - 2 = -2

Ответ: x = 0

Задача 4

Соответствие между неравенствами и решениями:

• A) 8^x < 64 → 8^x < 8² → x < 2 → Ответ: 1) (-∞; 2)
• Б) (1/8)^x > 64 → 8^-x > 8² → -x > 2 → x < -2 → Ответ: 3) (-∞; -2)
• В) 8^x > 64 → 8^x > 8² → x > 2 → Ответ: 2) (2; +∞)
• Г) (1/8)^x < 64 → 8^-x < 8² → -x < 2 → x > -2 → Ответ: 4) (-2; +∞)

Задача 5

25^x + 10 * 5^x-1 - 3 = 0

1. Представим 25 как 5² и вынесем за скобки 5^x-1: 5^2x + 2 * 5^x-1 - 3 = 0
2. Замена переменной: пусть 5^x-1 = t, тогда 5^2x = t²
3. Получаем квадратное уравнение: t² + 2t - 3 = 0
4. Решаем уравнение: (t+3)(t-1) = 0; t₁ = -3; t₂ = 1
5. Возвращаемся к переменной x:
   • 5^x-1 = -3 - решений нет, т.к. степень положительного числа всегда положительна
   • 5^x-1 = 1 = 5⁰ → x-1 = 0 → x = 1

Ответ: x = 1

Задача 6

(3/7)^x2 > (9/49)^x+1.5

1. Представим (9/49) как (3/7)²: (3/7)^x2 > (3/7)^{2x + 3}
2. Основания одинаковы, сравниваем показатели: x² > 2x + 3
3. Переносим все в левую часть: x² - 2x - 3 > 0
4. Решаем неравенство: (x-3)(x+1) > 0
5. Находим интервалы, где неравенство верно: x < -1 или x > 3

Ответ: x ∈ (-∞; -1) U (3; +∞)